Benoît Mandelbrot
Une fractale est d´abord un dessin résultant de calculs effectués à l´aide de la géométrie fractale.
La géométrie fractale se différencie de la géométrie
d´Euclide, mathématicien de la Grèce antique dont « Les Eléments » restèrent le noyau de l'enseignement mathématique pendant près de 2000 ans. Le point, la droite et le cercle sont les éléments basiques de cette géométrie qui nous est familière.
Mais voilà: impossible pour les mathématiciens de décrire avec cette géométrie classique et celles qui en découlèrent, les formes complexes des phénomènes naturels qui nous entourent: nuages, montagnes, fougères, flocons de neige, choux de Romanesco ou contours de la côte bretonne. Impossibilité également d'appréhender mathématiquement les développements météorologiques comme cyclones et tornades, les extensions de galaxies, de populations, les phénomènes physico-chimiques des liquides et des solides.
La Théorie du CHAOS est en partie née du fait que nous ne savions pas expliquer mathématiquement ces phénomènes.
Mais Benoit MANDELBROT va remédier en grande partie à ce problème. Ce mathématicien franco-américain (1924 - 2010) a développé et conçu vers 1975 une nouvelle géométrie à laquelle il donna le nom de « fractale », de fractus en latin: irrégulier. Cette géométrie avait déjà été pensée tout au début du XX siècle et même auparavant(1). Mais ces calculs - faits à la main - menaient à des dessins bizarres, complexes ou trop simples. Il en résultait ce que les mathématiciens de l´époque appelèrent «des monstres mathématiques» et ils abandonnèrent.
Les dons très particuliers de B. Mandelbrot de «visualiser» ces formules mathématiques complexes et par essence abstraites, son génie indépendant et rebelle, le firent sortir du cursus académique. Il entra chez IBM qui à l´époque cherchait des mathématiciens un peu fous et capables de travailler hors des sentiers battus. Grâce aux capacités de calcul des ordinateurs qu´IBM mettait à sa disposition, il pût enfin étudier certains phénomènes chaotiques - comme les problèmes de transmission du signal (grésillements) ou les crues du Nil - et se rendit compte qu´il existait une logique répétitive dans ces phénomènes. La théorie du CHAOS n´était pas aussi chaotique et hasardeuse que voulaient bien le faire croire les scientifiques adeptes de la géométrie « classique ».
Il constata qu'il existait des règles à ces phénomènes: une géométrie basée sur une ou des formules mathématiques ayant la capacité de créer des formes nouvelles très proches de la nature et du vivant !
Voici l´algorithme classique de Benoît Mandelbrot à partir d'un nombre complexe z0:
z 1 = z02 + c
z 2 = z12 + c
z 3 = z22 + c
….
Et de façon générale : z n+1 = zn2 + c
Seule la puissance de calcul des ordinateurs modernes a rendu possible ces calculs itératifs. Comme le disait Mandelbrot lui-même : « Pour le plus petit de mes dessins effectués sur la base de la géométrie fractale un mathématicien aurait autrefois eu besoin de plusieurs siècles».
La géométrie fractale permettait alors tout d´un coup de déchiffrer et de reproduire ces fameux phénomènes complexes naturels qui nous sont si familiers mais qui nous paraissaient si chaotiques. Depuis Benoit Mandelbrot la géométrie fractale a investi tous les domaines de la Science et de l´Art.
(1) Georg Cantor (1845-1918), Helge von Koch (1870-1924), Gaston Julia (1893-1978), Waclav Sierpinski (1882-1969).
L´Art fractal est un art nouveau et enfant de notre siècle. Il n´est ni de l´art figuratif ni de l´art abstrait. Aujourd’hui, grâce à la géométrie fractale associée à la grande puissance de calcul des ordinateurs, l´artiste du XXI siècle peut s´aventurer aux confins de la réalité et du rêve.
« Enfouies dans les profondeurs de notre inconscient, ces formes complexes, abouties, ressurgissent comme du fond des Abysses, rendues visibles par l´acte créateur »
Jeanne Avril
L´Art a de tout temps accompagné la science et la recherche. Ils sont quelques fois «frères ennemis». Mais comme tous les frères, ils «s´enrichissent de leurs différences» pour parler comme Paul Valérie. Ils ne se quittent jamais et s´observent d´ailleurs toujours du coin de l´œil.
L´Art Fractal est reconnu comme tel dès le début en 1984 lors d´un colloque à Biarrtz sur le thème : Les fractales : Objets Mathématiques, modèles physiques et créations artistiques, où Benoît Mandelbrot dit ceci:
« Nul ne peut s´abandonner à dessiner des images fractales sans aussitôt s´entourer de formes qui rappellent le vivant. Quel paradoxe, que cette nouvelle géométrie enfin « organique »-( on dirait aujourd´hui :biologique )- doive sa naissance à l´aide d´un outil qui est pour beaucoup le symbole même de l´inhumain et du technique. Les Fractal ont contribué à redonner aux mathématiques et à la physique un coté visuel et presque sensuel et elles ont posé des questions nouvelles concernant l´esthétique et de nombreux problèmes d´information et d´infographie. »
Il ajoute : « Il n´y a pas que les mathématiciens pour découvrir que les fractales sont souvent belles et leur beauté se trouve –à son avis- d´un genre tout nouveau»
Extraits de « LES FRACTALES : OBJETS MATHEMATIQUES ; MODELES PHYSIQUES ET CREATIONS ARTISTIQUES par Benoit Mandelbrot.. Premier colloque image à Biarritz 1984.
…et la géométrie fractale Si l´aventure vous tente d´en savoir plus et de façon compréhensible, je vous invite à rejoindre ce lien que j´ai beaucoup apprécié, chapitre « historique » :
http://just.loic.free.fr/index.php?page=accueil